sábado, 21 de junio de 2008

LINEAS DE INFLUENCIA

ANÁLISIS ESTRUCTURAL

LÍNEAS DE INFLUENCIA

Presentado por: Frank Irwin Villanueva Vargas
Alumno de la UNSM-FIC

INTRODUCCIÓN

Para conocer mejor lo que es el cálculo estructural, uno de los temas sencillos, pero de gran importancia, es el de las Líneas de Influencia. Ya que si lo vemos desde el punto de vista estructural es útil para establecer las condiciones más desfavorables de solicitación en estructuras que presentan un comportamiento lineal y soportan cargas móviles, por ejemplo puentes. Una carga móvil produce distintos efectos como son: reacciones, esfuerzos internos (Mf; Mt; N; Q), desplazamientos, etc. Se denomina línea de influencia al diagrama cuyas ordenadas en una cierta escala representan al coeficiente de influencia definido.

El presente trabajo se encamina principalmente a las líneas de influencia para “vigas isostáticas”, presentando en su contenido las definiciones principales, que corresponden a líneas de influencia para reacciones en vigas simples, líneas de influencia para fuerzas cortantes en vigas simples y también las líneas de influencia para momentos flexionantes en vigas simples. Además se tratara las líneas de influencia cualitativas y su aplicación en el campo de la ingeniería estructural.

También se tocara el teorema de la reciprocidad y su aplicación a las líneas de influencia, se propondrá además una miscelánea de cinco ejercicios, siendo dos de estos referidos a las reacciones, dos al momento flexionante y uno respectivamente a las fuerzas cortantes.
Por lo tanto se estima que el presente contribuirá de una u otra forma al mejor entendimiento de lo que son las líneas de influencia y su aplicación al análisis estructural.

I.-GENERALIDADES

1.1.-OBJETIVOS:

-Comprender los conceptos fundamentales de líneas de influencia para evitar equivocaciones por malas interpretaciones del tema.

-Aprender a definir en forma correcta las líneas de influencia en vigas isostáticas.

-Aplicar correctamente las líneas de influencia a ejercicios, para realizar su respectiva evaluación y resolución.

-Entender la importancia del tema en el análisis de estructuras sometidas a cargas móviles y a cargas fijas.

1.2.-LIMITACIONES DEL TRABAJO

El presente trabajo se rige exclusivamente al cálculo de líneas de influencia en sistemas isostáticos, por lo tanto tendrá una visión amplia de lo que es esta parte descrita anteriormente.
Cabe mencionar que no se tomara en cuenta los sistemas hiperestáticos, por ser considerado este otro un tema amplio y que merece otro sistema de investigación.

1.3.-JUSTIFICACIÓN

El presente trabajo nace por la necesidad de afianzar los conceptos básicos que se tienen que tener en cuenta en el cálculo estructural por lo tanto tiene un sustento científico, matemático y físico, ya que se utilizaran formulas de calculo experimental regidos por las leyes físicas y matemáticas, conservando los estudios anteriores realizados por grandes investigadores.

1.4.-GLOSARIO DE TÉRMINOS

-Fuerzas axiales.-
Aquellas fuerzas que se dan en el interior de un elemento de una estructura, perpendicular y en sentido de su eje.

-Esfuerzos internos.-Esfuerzos originados en los elementos estructurales como consecuencia de las fuerzas internas, se expresan en unidades de fuerza por unidad de área. Ej. Kg/m2, lb/pie2, etc.

-Momentos flexionantes.-Es el trabajo que realiza una fuerza perpendicular al elemento, que lo somete a flexión obligándolo a desplazarse pequeñas distancias, se expresa en unidades de fuerza por unidad de longitud. Ej. Kg-m, lb-pie, Ton-m, etc.

-Esfuerzo cortante.-Es la fuerza por unidad de área que soporta un material, oponiendo resistencia al corte, y que puede soportar antes de fallar.

-Esfuerzo normal.-Es la resistencia que opone un electo estructural a las fuerzas que actúan en sentido a su eje, expresado en fuerza por unidad de área, de este esfuerzo depende en la mayoría de los casos la selección del material a usaren la construcción.

-Principio de los trabajos virtuales.-Es el trabajo virtual efectuado por las fuerzas externas a cada elemento, originando una energía de deformación.

-Momento Torsor.-Trabajo efectuado por aquellas fuerzas externas del elemento que tienden a torcerlo como consecuencia de su aplicación.

-Sistemas Hiperestáticos.-Elementos estructurales que contienen mas incógnitas que las ecuaciones que nos brinda la estática, y que se resuelven usando leyes especiales.

-Sistemas Isostáticos.-Elementos estructurales que se pueden resolver con las ecuaciones de la estática.

II.-MARCO TEÓRICO

LÍNEAS DE INFLUENCIA

2.1.-DEFINICIÓN

El concepto de línea de influencia, fue utilizada por primera vez por el profesor E. Winkler de Berlín, en 1876. Estas nos muestran gráficamente la forma en que el movimiento de una carga unitaria a lo largo de una estructura, influye en cierto efecto mecánico en la misma. Entre los efectos que pueden considerarse están las reacciones, fuerzas cortantes, momentos flexionantes, fuerzas axiales, deflexiones, etc.

La línea de influencia puede definirse como una gráfica cuyas ordenadas representan la magnitud y el carácter o sentido de cierta función o efecto en una estructura, a medida que una carga unitaria móvil se desplaza a lo largo de la misma. Cada ordenada del diagrama define el valor de la función cuando la carga móvil se encuentra colocada en el sitio correspondiente a dicha ordenada.

Lo anteriormente dicho se puede explicar mejor en el siguiente gráfico:

En la viga mostrada definiremos la sección A-A, en la cual diremos que Mf(A) es la Línea de Influencia del momento flector en A, si se cumple que la ordenada δi representa el valor del momento flector en A para una carga P=1 aplicada en el punto i.

2.2.-APLICACIONES DE LA LÍNEA DE INFLUENCIA

Las líneas de influencia se utilizaran primordialmente para calcular ciertas fuerzas y determinar posiciones de cargas vivas que produzcan fuerzas críticas y máximas. Por lo tanto, la presencia de cargas móviles implica la necesidad de obtener:

a) Las solicitaciones, deformaciones, etc., que produce una carga (o un estado de cargas) para distintos puntos de aplicación de la misma.

b) El estado más desfavorable de aplicación de la carga, que trae aparejada las mayores solicitaciones o deformaciones, y con las cuales tiene que ser evaluada una sección dada

Estas dos necesidades deben ser tenidas en cuenta en todas las secciones de la viga, o por lo menos, en varias secciones características según las circunstancias. El trazado de diagramas o Líneas de Influencia nos permite una adecuada respuesta a las dos necesidades y su utilización es casi imprescindible en el caso de estudios de puentes, puentes grúa, etc., donde las cargas móviles tienen una cierta importancia con respecto a peso propio o carga permanentes.

2.3.-TRAZADO DE LAS LÍNEAS DE INFLUENCIA

El procedimiento para dibujar los diagramas de la línea de influencia consiste simplemente en la graficación de los valores de la función en estudio, como ordenadas correspondientes diversas posiciones de la carga unitaria a lo largo del claro, y, finalmente, en unir por líneas los extremos de dichas coordenadas.

Por lo tanto se debe seguir mentalmente a la carga en su movimiento a lo largo del claro, tratando de imaginar que sucede cuando se desplaza al efecto que se considera. El análisis por líneas de influencia puede aumentar inmejorablemente el conocimiento de lo que sucede a una estructura en diferentes condiciones de carga.

2.4.-LÍNEAS DE INFLUENCIA EN SISTEMAS ISOSTÁTICOS

Las líneas de influencia en sistemas isostáticos se pueden analizar en tres campos de aplicación:
A.-Líneas de influencia para reacciones en vigas simplesB.-Líneas de influencia para fuerzas cortantes en vigas simples.C.-Líneas de influencia para momentos flexionantes en vigas simples.

A.-LÍNEAS DE INFLUENCIA PARA REACCIONES EN VIGAS SIMPLES

Las líneas de influencia que corresponden a las reacciones se muestran en la figura A. Inicialmente se toma en cuenta el cambio de la reacción en el extremo izquierdo, V1, a medida que la carga unitaria se desplaza de izquierda a derecha a lo largo de la viga. Cuando esta directamente sobre el apoyo izquierdo es igual a 9/10, o bien 0.9 (por proporción entre distancias), cuando se encuentra 2m a la derecha V1 es igual a 8/10 ó 0.8, y así sucesivamente.
Se muestra en la figura los valores de V1 para intervalos de 1m en la aplicación de la carga unitaria a lo largo de la viga. Por cada intervalo de 1m la ordenada varía en 0.1. En cada uno de las posiciones de la carga citada, la suma de las ordenadas en cualquier punto es 1 (Por la condición de equilibrio ciertamente tiene que ser así
FIGURA A
APLICACIÓN AL CÁLCULO DE REACCIONES
Deseamos la L. de I. de RA que denominamos con nRA. Eliminamos el apoyo A, colocamos el esfuerzo correspondiente al vínculo suprimido, y damos un desplazamiento ∆A en el apoyo al mecanismo formado. Por aplicación del principio de los trabajos virtuales:

Donde vemos que RA es proporcional a la coordenada ni, o sea que ni, en una determinada escala puede representar el valor de RA para una carga unitaria aplicada en i, dónde
se puede incorporar como factor de escala.

B.-LÍNEAS DE INFLUENCIA PARA FUERZAS CORTANTES EN VIGAS SIMPLES.

En la figura B se grafican las líneas de influencia para cortante en las secciones específicas de una viga simple. Se utiliza la convención de signos usual, la fuerza cortante v es (+) cuando la suma de las fuerzas transversales a la izquierda de una sección va hacia arriba, o bien, cuando la suma de fuerzas a la derecha de la sección, va hacia abajo. Si la carga unitaria se coloca sobre el apoyo izquierdo no causa cortante en ninguna de las dos porciones. Al mover la carga unitaria 1m a la derecha del apoyo izquierdo, se obtiene una reacción izquierda de 0.9, y la suma de las fuerzas a la izquierda de la sección 1-1 vale 0.1 hacia abajo, o sea que la fuerza cortante es -0.1. Si el movimiento de la carga unitaria continúa a lo largo de la viga y hacia el apoyo derecho, se ocasionan cambios en los valores de cortante en la sección 1-1. Estos valores se han graficado para intervalos de 1m en la posición de la carga móvil. La línea de influencia para la fuerza cortante en la sección 2-2 se obtiene de la misma manera.


FIGURA B

APLICACIÓN AL CÁLCULO DE FUERZAS CORTANTES


C.-LÍNEAS DE INFLUENCIA PARA MOMENTOS FLEXIONANTES EN VIGAS SIMPLES

En la figura C se presentan las líneas de influencia para momentos flexionantes, en las mismas secciones de la viga de la figura B que sirvió para ilustrar lo relativo a las fuerzas cortantes.
Recuérdese que un momento flexionante positivo produce tensión en las fibras inferiores de la viga, y se presenta en una sección determinada cuando la suma de los momentos de todas las fuerzas a la izquierda, es en sentido del reloj, o bien, cuando la suma de los momentos de las fuerzas a la derecha, es en sentido contrario. Los momentos flexionantes en las secciones se toman a intervalos de 1m para la posición de la carga móvil.

Con esto debe quedar bien claro cual es la principal diferencia entre los diagramas de fuerza cortante y de momento flexionante, en comparación con los diagramas de influencia.
Un diagrama de influencia para cortante o flector muestra la variación de estos efectos en un segmento o tramo de una estructura, causada por el movimiento de una carga unitaria desde un extremo a otro de una estructura.


FIGURA C

APLICACIÓN AL CÁLCULO DE MOMENTOS FLEXIONANTES

Deseamos la L. de I. del Mfh en la sección HH. Para ello eliminamos el vínculo que transmite el momento en dicha sección introduciendo una articulación. A la cadena cinemática formada, doy un desplazamiento virtual y aplico el principio de trabajos virtuales después de explicitar el Mfh en la sección (+ tracción abajo).


Con las mismas condiciones anteriores podemos decir que el diagrama cinemático es en una determinada escala la línea de influencia buscada.

2.5.-LÍNEAS DE INFLUENCIA CUALITATIVAS

Las líneas de influencia cualitativas se basan en una regla o principio introducido por el investigador Heinrich Muller Breslau, tal regla expresa: “La configuración deformada de una estructura representa, en cierta forma, la línea de influencia para una función estructural, como reacción, fuerza cortante o momento flexionante, si la función en estudio se le permite guardar sobre una pequeña distancia”. En otras palabras la estructura esquematiza su propia línea de influencia cuando se le aplica imaginariamente un desplazamiento apropiado.


Como ejemplo se considerara la línea de influencia cualitativa para la reacción izquierda de la viga mostrada en la figura (a), Se elimina la restricción del apoyo izquierdo y se aplica ahí un desplazamiento unitario en la dirección de la reacción, como se muestra en la parte (b), Cuando se empuja hacia arriba el extremo izquierdo de la viga, el área que queda entre su posición original y su posición final representa su diagrama de línea de influencia para .

2.6.- TEOREMA DE RECIPROCIDAD PARA VIGAS ESTÁTICAS

El Teorema de Reciprocidad, que es sumamente útil desde el punto de vista conceptual y práctico, surge como corolario del principio de Trabajos Virtuales (T.V.) aplicado a sólidos linealmente elásticos. A continuación se demuestra este teorema para el caso de una viga simple. Supóngase un estado de cargas I, asociado a las cargas para el cual se determina el estado de solicitaciones internas y reacciones, y otro estado II asociado a otras cargas


Aplicando la ecuación de T.V. para el estado I y tomando como desplazamiento virtual el desplazamiento elástico provocado por las fuerzas del estado II se obtiene:

Nótese que los desplazamientos son causados por las cargas pero se refieren al punto de aplicación de las cargas . Recíprocamente, se puede plantear:


Suponiendo proporcionalidad entre tensión y deformación:


Reemplazando estas expresiones en (2) y (3) y restando miembro a miembro se obtiene:


El Teorema de Reciprocidad se sintetiza en la expresión (4) que expresa que el trabajo de las fuerzas del estado I a través de los desplazamientos de sus puntos de aplicación en el estado II es igual al trabajo de las fuerzas del estado II a través de los desplazamientos en el estado I. Es importante destacar que el teorema de reciprocidad es solo válido para sistemas lineales, mientras que el principio de T.V. es aplicable a cualquier sistema de fuerzas en equilibrio. Entre las aplicaciones del teorema de reciprocidad para sistemas linealmente elásticos se destacan dos:

i) Probar la simetría de la matriz de Flexibilidad en el método de las Fuerzas, y de la matriz de Rigidez en el método de los Desplazamientos.

ii) Trazado de líneas de influencia de reacciones y solicitaciones en sistemas hiperestáticos y de deformaciones en sistemas isostáticos e hiperestáticos.

A manera de ejemplo, el valor numérico del giro (en unidades consistentes) en el extremo de una viga simple causado por una carga unitaria (1 Kg.) actuando en el centro de la misma es por reciprocidad igual al desplazamiento transversal del centro de la viga causada por un momento unitario (1 Kg£-m) actuando en el extremo.


2.7.-LÍNEAS DE INFLUENCIA COMO APLICACIÓN DEL TEOREMA DE RECIPROCIDAD

El teorema de reciprocidad se aplica para:

a) Probar que la elástica causada por una fuerza unitaria es la línea de influencia en una cierta escala.

b) Determinar la escala y el signo.

2.8.-LÍNEA DE INFLUENCIA DEL DESPLAZAMIENTO DE UN PUNTO EN UNA VIGA
En la viga de la figura interesa determinar la influencia i (x) del descenso del punto central C. Se considera como estado I al correspondiente a la carga P colocada en x. El estado II corresponde a una carga unitaria en el punto para el cual interesa determinar la línea de influencia del desplazamiento.

Supóngase conocida a través de cualquier procedimiento de cálculo la elástica correspondiente al estado II: Por el teorema de reciprocidad:

Por definición de coeficiente de influencia:

Sustituyendo se tiene:


La línea de influencia del desplazamiento de un punto coincide con la elástica asociada a una carga unitaria aplicada en dicho punto.

III.-MISCELÁNEA DE EJERCICIOS DESARROLLADOS

Con la finalidad de entender todo lo anteriormente dicho sobre las líneas de influencia se procederá a plantear ejercicios desarrollados.
1.-Construir la línea de influencia para la reacción vertical en A de la viga mostrada en la figura.


Solución:

En cada punto seleccionado x se calcula el valor de Ay sumando valores respecto a B. Vea las figuras c, d, e, f, g. La gráfica de esos valores representa la línea de influencia (figura h).

(c). - MB=0------------Ay=1
(d). - MB=0------------Ay=0.77
(e).- MB=0------------Ay=0.55
(f). - MB=0------------Ay=0.32
(g). - MB=0------------Ay=0

Ecuación de la línea de influencia: Cuando la carga unitaria se coloca a una distancia variable x de A, figura i, la reacción Ay puede determinarse con la ecuación: MB=0. Tenemos:

Ay(11)-(11-x)(1)=0
Ay=1-x/11


La línea se grafica de la siguiente manera:


2.-Construir la línea de influencia para la reacción vertical en B de la viga, en la figura a.

Solución:


Valores tabulados: En la tabla se dan los valores de la reacción en B, calculados para cada posición x de la carga unitaria. Esto se obtiene dividiendo la longitud total en 5 partes, para el caso.
Ecuación de la línea de influencia:
Aplicando la ecuación de momentos respecto a A, (MA=0) en la figura b, podemos escribir:

By=X/11

La grafica de la línea de influencia queda de la siguiente manera:


3.-Determinar la fuerza cortante máxima positiva que puede desarrollarse en el punto C en la viga de la figura, debido a una carga viva concentrada de 6000 lb y una carga distribuida de 3000 lb./pie.


Solución:

Calculamos la reacción en A asumiendo la carga unitaria:


MB=0……………………19.80Ay=1(19.8-X)

Ay=1-X/19.8

Calculamos Vc a lo largo de su posición en la viga:


M=0………..Vc=-X/19.8 (X=0 y X=8.8)
M=0…………Vc=1-X/19.8 (X=8.8 y X=19.8)

Con estos valores dibujamos la línea de influencia debido a la fuerza cortante en C:


-Calculamos la Vc debido a la carga concentrada:

Vc=6000 lb en X=8.8 y Y=0.56
Vc=6000(0.56)=3360 lb.

-Calculamos la Vc debido a la carga distribuida:

Vc en X=8.8 y Y=19.8
Vc=(0.56)*1/2*(19.8-8.8)*3000
Vc=9240 lb

La fuerza cortante máxima positiva en C será:

Vc máx=3360+9240=12 600 lb.

4.-Construir la línea de influencia para el momento en el punto B de de la figura mostrada.


Solución:

Con la figura b se procederá a calcular la reacción en A:

Mc=0…………………19.8Ay=1(19.8-X)
Ay=1-X/19.8

Ecuaciones de la línea de influencia:


MB=11(1-X/19.8)-(11-X)
MB=4X/9
MB=11(1-X/19.8)
MB=11-5X/9

Con estos momentos tabulamos y graficamos la línea de influencia:


5.-Determine el momento máximo positivo que puede desarrollarse el punto B sobre la viga mostrada en la figura , debido a una carga concentrada de 7500 kg, una carga distribuida de 2700 Kg/m y el peso de la viga de 1100 Kg/m.


Solución:

La línea de influencia se ha dibujado en el ejercicio anterior y se muestra acontinuación:


Fuerza concentrada.-La fuerza concentrada de 7500 Kg situada en X=11 m, tiene una ordenada de 4.89 para producir un momento máximo MB, por lo tanto:

MB=4.89(7500)=36 675 Kg-m

Carga Distribuida.-La carga distribuida de 2700 kg/m colocada sobre la viga entre X=0 y X=19.8 tiene una ordenada máxima de 4.89, por tanto:

MB=1/2*(19.8)(2700)(4.89)=130 709.70 Kg/m

Carga muerta Distribuida.-La carga que produce el peso de la viga de 1100 kg/m actúa a lo largo de toda la viga, y se usara toda el área de la línea de influencia, por lo tanto el MB será igual a:

MB=[1/2*(19.8)(4.89)-1/2*(7.6)(4.22)][1100]= 35 612.50 Kg/m

Momento total máximo en B:

MB máx=36 675+130 709.70+35 612.50=202 997.20 Kg/m

1 comentario:

josé izquiel dijo...

Es de suma importancia este aporte sobre el teme de líneas de influencia, ya que es de gran beneficio para aquel estudiante de estructura que se inicia en dicho tema.